1  Einführung in die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren

Pseudodifferentialoperatoren bilden eine Verallgemeinerung partieller Differentialoperatoren und erlauben es, sowohl Differentialoperatoren als auch deren Inverse in einer Klasse zusammenzufassen. Bei sog. klassischen PsDO lässt sich die Komposition zweier Operatoren auf Symbolebene beschreiben, und man erhält eine *-Algebra. [1], [2]

2  Komplexe Potenzen elliptischer Operatoren

Für einen positiven klassischen elliptischen Pseudodifferentialoperator A der Ordnung n auf einer d-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit wird ein PseudodifferentialoperatorA^s definiert und die asymptotische Entwicklung des Symbols von A^s bestimmt. Für Re s >> 0 ist A^-s Spurklasse und z(s) = Sp(A^-s)  definiert eine meromorphe Funktion, deren Residuen und Werte an den Stellen s = (d-j)/n, j = 0,1,2,... durch lokale Formeln gegeben sind. [3]

3  Spektralsequenzen

Spektralsequenzen sind eine Maschine, mit deren Hilfe man (manchmal) die Homologie von filtrierten Kettenkomplexen bestimmen kann. [6], [7]

4  Das nichtkommutative Residuum von Wodzicky

Auf der Algebra der klassischen Pseudodifferentialoperatoren auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ohne Rand laesst sich eine Spur direkt mit Hilfe des vollständigen (nur lokal definierten) Symbols angeben. Diese Spur ist das nichtkommutative Residuum von Wodzicki. [4], [5]

5  Hochschild und zyklische Homologie von Differentialoperatoralgebren

6  Die Brylinski-Spektralsequenz und die Eindeutigkeit des Wodzickischen Residuums

Die Hochschildhomologie H_* von Y/Y^-¥ ist

References

[1]

Gilkey, Peter B. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Second edition. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. x+516 pp.

[2]

Kumano-go: Pseudodifferential Operators, MIT Press, Cambridge 1981

[3]

Seeley, R. T. Complex powers of an elliptic operator. 1967 Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) pp. 288-307 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

[4]

Schrohe, Elmar Wodzicki's noncommutative residue and traces for operator algebras on manifolds with conical singularities.

[5]

Fedosov, B.V.; Golse, F.; Leichtmann, E.; Schrohe, E.: The noncommutative residue for manifolds with boundary. J. Funct. Anal.142 (1996), 1-31.

[6]

Seibt, Peter Cyclic homology of algebras. World Scientific Publishing Co., Singapore, 1987. xii+160 pp.

[7]

Bott, Raoul; Tu, Loring W. Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. xiv+331 pp.

[8]

Brylinski, Jean-Luc; Getzler, Ezra The homology of algebras of pseudodifferential symbols and the noncommutative residue. K-Theory 1 (1987), no. 4, 385-403.