*Fakultät:

*Institut/Lehrstuhl:

Lehrstuhl für Mathematik VIII

*Adressat/Adressatin:

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*Forschungstätigkeit

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*Thema:

Geometrische Evolutionsgleichungen vierter Ordnung und Oberflächendiffusion

*Beschreibung:

Geometrische Evolutionsgleichungen spielen in den Materialwissenschaften eine wichtige Rolle. So werden Oberflächendiffusionsprozesse in Legierungen von geometrischen Evolutionsgleichungen vierter Ordnung beschrieben. In Zusammenarbeit mit Professor Kohsaka (Muroran Institute, Japan) wurden Stabilitätsuntersuchungen für Oberflächendiffusionsprozesse in Netzwerken mit Tripel- und Randpunkten durchgeführt.

Förderung: Universitätsstiftung Hans Vielberth

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*Mitarbeiter/in:

*Thema:

Diffusion in Korngrenzen

*Beschreibung:

Die Diffusion von Atomen in Korngrenzen kann eine Bewegung der Korngrenze induzieren (diffusion induced grain boundary motion). Von H. Garcke und V. Styles ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung dieses Phänomens vorgeschlagen und analysiert worden. Im Gegensatz zu früheren Modellen ist auch die Beschreibung von Tripelpunkten und die Bewegung von Korngrenzen in unterschiedliche Richtungen möglich. Es ist geplant, das Modell zu erweitern, um auch mechanische Einflüsse zu berücksichtigen.

Förderung: RTN Network "Fronts and Singularities", HPRN-CT-2002-00274

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*Beschreibung:

Hohlräume in mikroelektronischen Leitbahnen ändern ihre Form durch Oberflächendiffusion und dieser Vorgang führt häufig zum Versagen von integrierten Schaltungen. Diese Diffusionsvorgänge werden durch Kapillarkräfte und mechanische sowie elektrische Spannungen verursacht (Spannungs- und Elektromigration). In Zusammenarbeit mit J.W. Barrett und R. Nürnberg (Imperial College, London) wurde eine Finite-Element-Methode für ein Phasenfeldmodell entwickelt, um dieses Phänomen zu beschreiben. Außerdem wurde ein Konvergenzbeweis geführt, der die Existenz von Lösungen des Phasenfeldmodells zeigt. Eine Weiterentwicklung des Modells auf Hohlräume in Korngrenzen ist geplant.

Förderung: RTN Network "Fronts and Singularities", HPRN-CT-2002-00274

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*Mitarbeiter/in:

*Thema:

Analysis und Numerik von Phasenfeldmodellen

*Beschreibung:

Zu einem am Lehrstuhl entwickelten Phasenfeldmodell für mehrkomponentige Mehrphasensysteme ist man an dem mathematischen Nachweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung interessiert. Den Satz an parabolischen Differentialgleichungen behandelt man mit Hilfsmitteln aus der Funktionalanalysis. Man approximiert das Differentialgleichungssystem durch endlichdimensionale Gleichungssysteme.

Als schwierig erweisen sich dabei nichtlineare Terme, die Energie und Anisotropie modellieren. Schließlich erschwert auch die Kopplung mehrerer nichtlinearer Gleichungen die analytische Behandlung.

Für numerische Simulationen bietet sich das Phasenfeldmodell an. Einerseits kann man die Entwicklung von Phasengrenzen simulieren und andererseits Vorhersagen über das Modell hinsichtlich Eigenschaften und Verhalten treffen.

Für die numerischen Rechnungen sind in der Regel Rechengebiete mit hoher Auflösung erforderlich. Hinzu kommt, dass für jede Phase und Komponente jeweils eine Gleichung zu lösen ist.

Anisotropien, die wesentlichen Einfluss auf die Bildung kristalliner Erstarrungsstrukturen haben, erfordern ebenfalls erheblichen Rechenaufwand.

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm 1120: "Phasenumwandlung in mehrkomponentigen Schmelzen"

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*Mitarbeiter/in:

*Thema:

Singuläre Grenzwerte von Cahn-Hilliard Gleichungen

*Beschreibung:

Entmischungsphänomene können als Alterungsprozesse von Metalllegierungen auftreten. Je nach Betrachtungsweise werden zur mathematischen Beschreibung das Cahn-Hilliard-Modell (ein Modell mit weicher Grenzfläche) oder das Mullins-Sekerka-Modell (ein Modell mit scharfer Grenzfläche) zur Hilfe genommen. Da die beiden Modelle aber keine Anisotropie erklären können, werden elastische Effekte zusätzlich mit einbezogen. Die Elastizitätstheorie versucht, die in einem Festkörper auftretenden Spannungen (auf Grundlage der Materialeigenschaften) zu beschreiben.

Nun will man das Mullins-Sekerka-Modell als asymptotischer Grenzwert des Cahn-Hilliard-Modells erhalten. In dem einfachen Fall ohne Elastizität kann man ein rigoroses Ergebnis tatsächlich erreichen. Diese Konvergenz soll auch für das erweiterte Modell mit Elastizität nachgewiesen werden.

Ausserdem soll eine Analyse der Strukturbildung bei epitaktischem Wachstum dünner Filme (sog. "Inselinstabilität") durchgeführt werden.

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm 1095: 'Analysis, Modellbildung und Simulation von Mehrskalenproblemen'

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*Mitarbeiter/in:

*Thema:

Modellierung und Analyse von Mehrskalenproblemen bei Erstarrungsprozessen

*Beschreibung:

Bei Erstarrungsprozessen treten auf verschiedenen Längenskalen Effekte auf, die sich gegenseitig beeinflussen. So hängt die Bruchfestigkeit von der Qualität der Mikrostrukturen ab, die von den verschiedenen auftretenden Phasen gebildet werden, und andererseits beeinflussen die von außen veränderbaren Temperaturbedingungen die Entwicklung dieser Mikrostrukturen. Mathematisch spricht man daher von Mehrskalenproblemen.

Zur Modellierung solcher Probleme kann man auf Modelle mit freien Rändern zurückgreifen, wobei die Phasengrenzen durch mobile Hyperflächen beschrieben sind. Diese Modelle sind analytisch und algorithmisch (bzgl. numerischer Simulationen) sehr anspruchsvoll, weswegen sogenannte Phasenfeldmodelle benutzt werden. Die Phasengrenzen sind dann nicht mehr durch scharfe Grenzflächen beschrieben, sondern unscharf und von einer charakteristischen Dicke. Lässt man diese Dicke gegen null gehen, dann wurde gezeigt, dass man formal wieder ein Modell mit freien Rändern erhält. Hier ist von besonderem Interesse, wie schnell die Konvergenz erfolgt, denn bei numerischen Simulationen muss die Dicke durch die Diskretisierung aufgelöst werden.

Weiterhin sind die bisher entwickelten Modelle thermodynamisch konsistent und einfach zu kalibrieren durch experimentell messbare Größen wie Oberflächenspannungen. Numerische Simulationen zeigen, dass sich qualitativ die richtigen Mikrostrukturen bilden, quantitative Messungen sind in Planung.

Förderung: DFG-Schwerpunktprogramm 1095: 'Analysis, Modellbildung und Simulation von Mehrskalenproblemen'

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