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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices en G\'eom\'etrie Diff\'erentielle\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 1  \hfill  30\ janvier 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Calculer la courbure $\kappa(t)$ de l'ellipse
  $$c:[0,2\pi]\to \mR^2,\qquad 
    c(t)=
    \begin{pmatrix}
      a\cos t\\
      b\sin t
    \end{pmatrix}$$
et d\'et\'erminer tous les $t\in [0,2\pi[$ avec $\dot\kappa(t)=0$.

%\a Soient $c,\gamma:[0,1]\to \mR^2$ deux courbes param\'etr\'ees par longueur 
%d'arc avec $\kappa_{c}(t)=-\kappa_\gamma(t)$ pour tout $t\in [0,1]$.
%Montrer qu'il existe une isom\'etrie affine $\alpha:\mR^2\to \mR^2$
%qui ne preserve pas l'orientation telle que 
%$\alpha\circ \gamma(t) = c(t)$.

\a Soit $\gamma:[a,b]\to \mR^2$ une courbe param\'etr\'ee par longueur
d'arc telle que 
 $\gamma(a)=\gamma(b)$ et $\dot\gamma(a)=\dot\gamma(b)$.
Montrer que 
  $$\int_a^b \kappa_\gamma(t)\, dt \in 2\pi \mZ.$$
Tracer une telle courbe param\'etr\'e par longueur d'arc $\gamma$ 
avec $\int_a^b \kappa_\gamma(t)\, dt=0$,
 $\int_a^b \kappa_\gamma(t)\, dt=2\pi$, $\int_a^b \kappa_\gamma(t)\, dt=4\pi$,
 $\int_a^b \kappa_\gamma(t)\, dt=-2\pi$.

\a On d\'efinit la fonction 
  $$F:\mR^3\setminus \left\{\begin{pmatrix}0\cr 0 \cr z\end{pmatrix}\,\Big|\,
       z\in\mR\right\}\to \mR,\qquad F\begin{pmatrix} x\cr y\cr z \end{pmatrix}= (\sqrt{x^2+y^2}-1)^2+z^2.$$
Montrer que $F$ est lisse.
%  $$U:=\mR^3\setminus \left\{\begin{pmatrix}0\cr 0 \cr z\end{pmatrix}\,\Big|\,
%       z\in\mR\right\}.$$
D\'et\'erminer l'ensemble des valeurs r\'eguli\`eres de $F$.
Faire un d\'essin de $F^{-1}(0,25)$ et de $F^{-1}(4)$. D\'eterminer
l'ensemble des $t\in\mR$ tels que 
$F^{-1}(t)$ est compact?

\newpage
\a  Les ensembles suivants sont-ils des sous-vari\'et\'es de $\mR^3$ ou $\mR^2$, 
et si oui, d\'et\'erminer la dimension et le nombre des composantes connexes
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\in \mR^3\,\Big|\,x^2+y^2+z^2\leq 1\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\in \mR^3\,\Big|\,x^2+y^2+z^2= 1\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\in \mR^3,\Big|\,x^2+y^2+z^2< 1\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y \cr z\end{pmatrix}\in \mR^3\,\Big|\,x^2+y^2+z^2= 0\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}\in \mR^2\,\Big|\,x^2-y^2= 0\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}\in \mR^2\,\Big|\,x^2-y^2= 1\right\}$
\item $M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}\in \mR^2\,\Big|\,x^2-y^2= -1\right\}$
\end{enumerate}

\a 
Calculer la d\'eriv\'ee de l'application
 $$\det:  {\cal M}_n(\mR)\to \mR.$$
Montrer que $1$ est une valeur reguli\`ere de $\det$.\\
{\it Indication: Montrer d'abord que 
  $$\frac{d}{dt}|_{t=0} \det \left(\Id_n + tA\right)= \tr A,$$ 
o\`u $\Id_n$ est l'identit\'e dans ${\cal M}_n(\mR)$.} 
\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/geodiffm1}
\end{document}