\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}    
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[ 
  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
  pdfstartview=FitB,
  hypertex
%  pdfpagemode=UseThumbs 
]{hyperref}

\pagestyle{empty}
\addtolength{\topmargin}{-1.7cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.0cm}
\addtolength{\textwidth}{2.7cm}
\addtolength{\leftmargini}{-0.5cm}
\addtolength{\leftmarginii}{-0.2cm}
\parskip0.5ex
\parindent0em
\frenchspacing
\sloppy

\input{makros}

\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices en G\'eom\'etrie Diff\'erentielle\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 2  \hfill  6\ f\'evrier 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit $M:=F^{-1}(0,25)$
o\`u $F$ est la fonction d\'efini dans Feuille 1, exercice no.3.
Calculer $T_pM$ pour tour $p\in M$.


\a Montrer que 
$M=\left\{\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}\in \mR^2\,\Big|\,|x|+|y|=1\right\}$
n'est pas une sous-vari\'et\'e de $\mR^2$.\\
{\it Indication: Utilisez les caract\'erisations de l'espace tangent du cours.}

\a Montrer que $O(n)$ est une sous-vari\'et\'e de ${\cal M}_n(\mR)$.
D\'et\'erminer la dimension.

\a (La Bande de Moebius.)
On d\'efinit
  $$\psi:\mR\times ]-1,1[\to \mR^3$$
  $$\psi(t,s)=\begin{pmatrix}\cos(t)(2+ s\cos(t/2))\cr
                             \sin (t)(2+ s\cos(t/2))\cr    
                             s \sin(t/2)
           \end{pmatrix}$$ 
Montrer que $M:=\psi(\mR\times ]-1,1[)$ est une surface dans $\mR^3$.
(Attention: $\psi$ n'est pas injective.) Faire un dessin de $M$.
Montrer qu'il n'existe pas 
d'application continue $N:M\to S^2$ tel que
$N(p)\perp T_pM$ pour tout $p\in M$. 

\a 
%\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
%\item 
Soit $M$ une hypersurface dans $\mR^{n+1}$, et $N:M\to S^n$
une application lisse tel que $N(p)\perp T_pM$ pour tout $p\in M$.
Montrer que $dN_p(X)\in T_pM$.
%\item Donner une sous-vari\'et'e de dimension $1$ dans $\mR^3$, et un $N$.....
% telle que $dN_p(X)\not\in T_pM$
% 
\vskip 5cm

\vspace\fill
\hrule
{\it Il est recommand\'e de rendre les solutions des 
exercices jusqu'\`a vendredi, 11 f\'evrier, 15 heures, dans mon casier.}\\
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/geodiffm1}
\end{document}