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  pdftitle={Algebre et Geometrie 3},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf Exercices en G\'eom\'etrie Diff\'erentielle\\Bernd Ammann, 2005--2006}

    Feuille 4 (Pr\'esence) \hfill  8\ mars 2006}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Soit $\gamma:\mo]a,b\mc[\to \mR^n$ une courbe reguli\`ere injective, tel que
$M:=\gamma(\mo]a,b\mc[)$ est une sous-vari\'et\'e. Soit $p=\gamma(t_0)$. 
Montrer que la deuxi\`eme form fondamentale $I\!I_p:T_pM\times T_pM\to N_pM$ 
satisfait 
  $$I\!I_p(X,X)= \|X\|^2 K_\gamma(t_0)$$
pour tout $X\in T_pM$.

\a Soit $M_f$ la surface de rotation donn\'ee par la fonction $f:\mR\to \mR^+$.
D\'eterminer une condition n\'ecessaire et suffisante pour que $H=c=const$ (on obtient une equation diff\'erentielle).
Montrer que $cosh:\mR\to \mR^+$ est une solution avec $H\equiv 0$.


\a On \'etudie l'application
 $$\Psi_\alpha(u,v)= \begin{pmatrix}
  \sin \al \cosh u \cos v + \cos \al \sinh u \sin v\cr
  \sin \al \cosh u \sin v - \cos \al \sinh u \cos v\cr
  (\sin \al) u  + (\cos \al)v 
\end{pmatrix}$$
\begin{enumerate}[{\rm (a)}]
\item Montrer que $\Psi_\alpha$ est une immersion de $\mR^2$ dans $\mR^3$.
\item Calculer les $g_{ij}$ associ\'es \`a $\Psi_\al$.
\item Montrer que si $\Omega$ est un ouvert de $\mR^2$ tel que 
$\Psi_\al|_\Omega $ et $\Psi_\beta|_\Omega$ sont des 
param\'erisations (i.e.\ des 
hom\'eomorphismes sur son image), alors $\Psi_\al(\Omega)$ et 
$\Psi_\beta(\Omega)$ sont isom\'etriques.
\item Calculer un champ de vecteurs normals unitaires.
\item Calculer les $h_{ij}$, la courbure moyenne $H$ et la courbure 
de Gauss $K$.  
\end{enumerate}

% 
\vskip 5cm

\vspace\fill
\hrule
%{\it Il est recommand\'e de rendre les solutions des 
%exercices jusqu'\`a vendredi, 11 f\'evrier, 15 heures, dans mon casier.}\\
\texttt{\small http://www.iecn.u-nancy.fr/$\sim$ammann/geodiffm1}
\end{document}