Algebraische Topologie I -- elementare Homotopietheorie, SS 2013

Aktuelles

Blatt 4 (Abgabe bis 17. Mai, 8:00 Uhr) ist online.
Blatt 3 (Abgabe bis 10. Mai, 8:00 Uhr) ist online.
Die Definition der Kategorie Mon in Aufgabe 4 ist nun korrigiert! (Die Bedingungen an die neutralen Elemente und ihr Verhalten unter Monoidhomomorphismen waren nicht stark genug, sorry.)
Die aktuelle Version des Kurzskripts ist online (Version vom 9. Mai 2013).
Falls Sie im WS 2013/14 bei mir eine Bachelorarbeit in Topologie/Geometrie schreiben möchten, sollten Sie spätestens im SS 2013 ein Seminar aus dem Schwerpunkt Globale Analysis besuchen, z.B. das Seminar: Gruppentheorie von Flächen im SS 2013 (Vorbesprechung: Freitag, 1. Februar 2013, 13:00, M 201).

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.
Hopf fibration

Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.

Inhalt der Vorlesung sind:

Was ist algebraische Topologie?
Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie
Höhere Homotopiegruppen und ihre grundlegenden Eigenschaften
Klassifizierende Räume
Ausblick in die stabile Homotopietheorie

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

Die Vorlesung wird im Studienjahr 2013/14 durch die Vorlesungen Algebraische Topologie II und Algebraische Topologie III fortgesetzt, in denen insbesondere singuläre und zelluläre (Ko)Homologie und (Ko)Homologie von Mannigfaltigkeiten behandelt werden. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).

On request, this course can be held in English

Kurzskript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung
Was ist algebraische Topologie?
[Kategorien, Homotopie, Funktoren, Homotopieinvarianz, Limiten, Kolimiten und universelle Eigenschaften]
Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie
[(Die Fundamentalgruppe -- eine Gruppenstruktur auf pi1)]
Anhang: Grundbegriffe aus der mengentheoretischen Topologie
[Topologische Räume, stetige Abbildungen, (Weg-)Zusammenhang, Hausdorffräume, Kompaktheit, Quotientenräume]
Anhang: Freie (amalgamierte) Produkte von Gruppen
[Freie (amalgamierte) Produkte]

Vorlesungstermine

Dienstag, 10--12, M 104,
Freitag, 8--10, M 102.

Übungen

Dienstag, 18--20, M 101,
Freitag, 12--14, M 102.
(Die Übungen finden ab der zweiten Vorlesungswoche statt.)
Die Einteilung in die Übungsgruppen wird über GRIPS erfolgen; stellen Sie daher bitte sicher, dass Sie in der ersten Vorlesungswoche bereits Zugriff auf Ihren NDS-Account des Rechenzentrums haben. Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs.

Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Matthias Blank (matthias.blank@mathematik.uni-regensburg.de, M205).

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen (und dem Namen des Übungsleiters) zu versehen!

Blatt 0,	vom 19. April 2013,	keine Abgabe,	Besprechung in den Übungen vom 23./26. April
Blatt 1,	vom 19. April 2013,	Abgabe bis 26. April,	Besprechung in den Übungen vom 30.04./03.05.
Blatt 2,	vom 26. April 2013,	Abgabe bis 3. Mai	Besprechung in den Übungen vom 07.05./10.05.
Blatt 3,	vom 3. Mai 2013,	Abgabe bis 10. Mai	Besprechung in den Übungen vom 14.05./17.05.
Blatt 4,	vom 10. Mai 2013,	Abgabe bis 17. Mai	Besprechung in den Übungen vom 21.05.(?!)/24.05.

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.

Algebraische Topologie

M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto. Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint, Springer, 2002.
A. Hatcher. Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002. Homepage des Buches
W.S. Massey. Algebraic Topology: an Introduction, siebte Auflage, Springer, 1989.
P. May. A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999.
J. Strom. Modern Classical Homotopy Theory, American Mathematical Society, 2012.
T. tom Dieck. Algebraic Topology, European Mathematical Society, 2008.

Mengentheoretische Topologie

K. Jänich. Topologie, achte Auflage, Springer, 2008.
J.L. Kelley. General Topology, Springer, 1975.
J.R. Munkres. Topology, zweite Auflage, Pearson, 2003.
L.A. Steen. Counterexamples in Topology, Dover, 1995.

Kategorientheorie

H. Herrlich, G.E. Strecker. Category Theory, dritte Auflage, Sigma Series in Pure Mathematics, Heldermann, 2007.
S. MacLane. Categories for the Working Mathematician, zweite Auflage, Springer, 1998.
B. Richter. Kategorientheorie mit Anwendungen in Topologie, Vorlesungsskript, WS~2010/11, Universität Hamburg, pdf

Voraussetzungen

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II (insbesondere grundlegende mengentheoretische Topologie, z.B. wie in der Analysis II im WS 2011/12), Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der Algebravorlesungen) verfügen.
Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich (aber hilfreich).

Prüfung/Leistungsnachweis

Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Letzte Änderung: 9. Mai 2013