Algebraische Topologie III-- (Ko)Homologie: Dualität und Produkte, SS 2014

Aktuelles

Das Kurzskript ist aktualisiert (Version vom 11. Juli).
Blatt 14 ist online (freiwillige Abgabe).
Falls Sie eine mündliche Prüfung über Algebraische Topologie III ablegen möchten, wenden Sie sich bitte per email an clara.loeh@mathematik.uni-r.de .
Seminar Das Wortproblem
Anmeldung in der Vorbesprechung (Dienstag, 8. Juli, 12:15, M 201) oder per email.
Diese Vorlesung wird nicht evaluiert (es wird in jedem Semester nur eine Auswahl von Veranstaltungen evaluiert); mit Kritik und Anregungen können Sie sich aber natürlich jederzeit an mich oder Matthias Blank wenden.
Bitte beachten Sie die organisatorischen Hinweise zur Vorlesung.
Vorkenntnisse aus Algebraische Topologie I sind nicht erforderlich! Sie sollten jedoch über die Kenntnisse aus Algebraische Topologie II verfügen.
Falls Sie im WS 2014/15 bei mir eine Bachelorarbeit oder Masterarbeit in Topologie/Geometrie schreiben möchten, sollten Sie spätestens im SS 2014 ein Seminar aus dem Schwerpunkt Globale Analysis besuchen, z.B. das Seminar: Beschränkte Kohomologie im SS 2014.

Algebraische Topologie

Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.

Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.

Inhalt der Vorlesung sind:

Singuläre Kohomologie
Zelluläre Kohomologie
Dualität und Produkte
Klassische Anwendungen von (Ko)Homologie auf Gruppen und Mannigfaltigkeiten

Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.

Diese Vorlesung baut auf der Algebraische Topologie II aus dem WS 2013/14 auf. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).

On request, this course can be held in English

Kurzskript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Literaturhinweise
Einführung
Kohomologie
[Axiomatische Kohomologie , singuläre Kohomologie , zelluläre Kohomologie , Klassifikation der Kohomologietheorien ]
Produkte auf (Ko)Homologie
[Multiplikative Strukturen auf Kohomologie , externe Produkte auf Kohomologie , Beispiele für Kohomologieringe , Konstruktion des Cup-Produkts in singulärer Kohomologie , Diagonalapproximationen und der Satz von Eilenberg-Zilber , externe Produkte auf Homologie , das Cap-Produkt zwischen Kohomologie und Homologie , Übersicht über die Produkte auf singulärer (Ko)Homologie]
Universelle Koeffiziententheoreme
[Das universelle Koeffiziententheorem in Homologie, das universelle Koeffiziententheorem in Kohomologie, Küneththeoreme, die lim1-Sequenz ]
(Ko)Homologie von Mannigfaltigkeiten
[Topologische Mannigfaltigkeiten, Orientierbarkeit und Fundamentalklassen, Poincare-Dualität, der Abbildungsgrad für Mannigfaltigkeiten, deRham-Kohomologie]
Anhang: Grundbegriffe aus der mengentheoretischen Topologie
[Topologische Räume, stetige Abbildungen, (Weg-)Zusammenhang, Hausdorffräume, Kompaktheit]
Anhang: Homologische Algebra
[exakte Sequenzen, Kettenkomplexe und Homologie, Kettenhomotopie, Kokettenkomplexe und Kohomologie, azyklische Modelle, abgeleitete Funktoren (axiomatisch), projektive/injektive Auflösungen und der Fundamentalsatz der homologischen Algebra, Konstruktion abgeleiteter Funktoren]

Vorlesungstermine

Dienstag, 10--12, M 104,
Freitag, 10--12, M 104.

Übung

Mittwoch, 16--18, M103.

Bitte melden Sie sich bis Montag, 14. April 2014, 12:00, über GRIPS für die Übungen an.
Beachten Sie bitte auch die wichtigen Hinweise zur Organisation des Übungsbetriebs. Bei Fragen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Matthias Blank (matthias.blank@mathematik.uni-regensburg.de, M205).

Übungsblätter

Bitte denken Sie bei der Abgabe daran, jedes Blatt mit Ihrem Namen zu versehen!

Blatt 0,	vom 8. April 2014,	keine Abgabe,	Besprechung in der Übung vom 16. April
Blatt 1,	vom 11. April 2014	Abgabe bis 16./18. April,	Besprechung in der Übung vom 23. April
Blatt 2,	vom 18. April 2014	Abgabe bis 25. April	Besprechung in der Übung vom 30. April
Blatt 3,	vom 25. April 2014,	Abgabe bis 02. Mai,	Besprechung in der Übung vom 7. Mai
Blatt 4,	vom 02. Mai 2014,	Abgabe bis 09. Mai,	Besprechung in der Übung vom 14. Mai
Blatt 5,	vom 09. Mai 2014,	Abgabe bis 16. Mai,	Besprechung in der Übung vom 21. Mai
Blatt 6,	vom 16. Mai 2014	Abgabe bis 23. Mai	Besprechung in der Übung vom 28. Mai
Blatt 7,	vom 23. Mai 2014,	Abgabe bis 30. Mai	Besprechung in der Übung vom 4. Juni
Blatt 8,	vom 30. Mai 2014	Abgabe bis 6. Juni	Besprechung in der Übung vom 11. Juni
Blatt 9,	vom 6. Juni 2014,	Abgabe bis 13. Juni	Besprechung in der Übung vom 18. Juni
Blatt 10,	vom 13. Juni 2014,	Abgabe bis 20. Juni,	Besprechung in der Übung vom 25. Juni
Blatt 11,	vom 20. Juni 2014,	Abgabe bis 27. Juni,	Besprechung in der Übung vom 2. Juli
Blatt 12,	vom 27. Juni 2014,	Abgabe bis 4. Juli,	Besprechung in der Übung vom 9. Juli
Blatt 13,	vom 4. Juli 2014	freiwillige Abgabe,
Blatt 14,	vom 11. Juli 2014	freiwillige Abgabe,

Literatur

Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.

Literaturangaben finden Sie im Kurzskript.

Voraussetzungen

Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II (insbesondere grundlegende mengentheoretische Topologie, z.B. wie in der Analysis II im WS 2011/12), Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der Algebravorlesungen) verfügen.
Außerdem sollten Sie mit singulärer und zellulärer Homologie (s. Algebraische Topologie II, WS 2013/14) vertraut sein.
Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich (aber hilfreich).
Kenntnisse aus Algebraische Topologie I sind nicht erforderlich!

Prüfung/Leistungsnachweis

Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Letzte Änderung: 12. Juli 2014