Lesen Sie die Lösungen, probieren Sie sie zu verstehen, bereden Sie sie mit Ihren Kameraden. Ich stehe zur Verfüging für weitere Erklärungen. Geben Sie mir bitte Bescheid falls eine Lösung nicht klar ist.
Lösungen von alten Aufgaben:
Sammlungen der Theorie: Aulbach Sammlung .
SS 2013
Ziel: Der Kurs dient der Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung in Analysis im 1. Staatsexamen (Lehramt Gymnasium) und wendet sich in erster Linie an Studentinnen und Studenten, die ihr Examen im Herbst 2013 ablegen wollen. Sie sollten selber zu Hause Definitionen, Sätze und Beispiele lesen. Sehr wichtig! Es ist nicht möglich die Theorie nut kurz vor dem Examen zu lernen.
Zeit/Raum: Mi 16-18 in H32 und Fr 12-14 in M101. Minimale Wiederholung der Theorie und einige gelösten Aufgaben. Oder auch Klausurproben; bringen Sie alle Bücher mit; ich gebe Hinweise/antworte zur Fragen (ab mid Juni).
Staatsexamen: Das Examen dauert vier Stunden. Die Formelsammlungen von Rottmann und von Barth sind zugelassen, sowie einfachen Taschenrechner. Die Texten der alten Examen sind auf dieser Webseite der Universität Erlangen.
Literatur
Hauptreferenzen:- [J] K.Jänich, Funktionentheorie
- [A] B.Aulbach, Gewönliche Differentialgleichungen
- [JPhy] K.Jänich, Analysis für Physiker und Ingenieure
- [F] K.Fritzsche, Grundkurs Funktionentheorie
- [FB] E.Freitag und R.Busam, Funktionentheorie (eBook der Bibliothek)
- [FL] Fischer und Lieb, Funktionentheorie
- [H] A.Herz, Repetitorium Funktionentheorie
- [L] S.Lang, Complex Analysis
- [R] R.Remmert, Funktionentheorie 1
- [B] Bröcker, Analysis 3
- [F] Forster, Analysis 2
- [RS] Remmert Schumacher, Funktionentheorie 2
- [W] W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen
Aufgaben Funktionentheorie
THEMA 1: Komplexe Zahlen, Beispiele von Gebiete, komplexe Differentierbarkeit, die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.
ÜBUNGEN: 10FI4; 11HII1, 12FI2b, 12FII2b.
THEMA 2: Potenzreihen, Analitizität, sin, cos, exp. Identitätsatz, Diskussion der isolierten Singularitäten, Laurentreihen.
ÜBUNGEN: 8FII3 (Abschätzungen der Taylorkoeffizienten holomorpher Funktionen); 8HI1 (Singularitäten); 9HII5a; 10FI5, 10FIII5; 10HI5 (Identitätssatz), 10HII3, 10HIII1(Cauchy-Formel); 11FI5, 11FII1a, 11FIII5 (Casorati-Weierstrass); 11HII2 (Potenzreihenentwicklung, Cauchy-Formel, Identitätssatz), 11HII3ab, 11HIII2 (Potenzreihenentwicklung, Identitätssatz), 11HIII4a; 12FI2c, 12FI3, 12FII2a, 12FII2c, 12FIII2.
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THEMA 3: Integralen, Maximumprinzip, Liouville.
ÜBUNGEN: 9FII Aufgabe 3 (Liouville); 10FIII4 (Beweis des Maximumprinzips mit Cauchyscher Integralformel) ; 10HII2 (Maximumprinzip), 10HIII2; 11FII2 (Maximumprinzip, Gebietstreue; genaues Lesen der Angabe gibt einen Hinweis auf die Lösung), 12FI2a.
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THEMA 4: Moebiustransformationen, Riemannscher Abbildungsatz. Biholomorphismen (der Einheitskreisscheibe, der komplexen Ebene). Gebietstreue.
ÜBUNGEN: 7FII3, 7FIII3; 8FI5; 9FI1, 9FI3 (Riemannscher Abbildungsatz); 10HI3, 10HII1; 11FII1b, 11FII3, 11FIII4 (Gebietstreue); 11HI2.
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THEMA 5: Satz von Rouché (und Fundamentalsatz der Algebra).
ÜBUNGEN: 07HIII2; 08FI4, 08FIII2; 08HII5; 11HI3a; 12FII1.
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THEMA 6: Anwendungen des Residuensatzes, Umlaufszahl, Stammfunktionen.
ÜBUNGEN: 6FI1; 8FII4a (Integral einer rationalen Funktion im Cosinus); 8HI2 (Anwendungen des Residuensatzes), 8HI3 (Stammfunktionen), 8HII4; 9FII4; 9HI4 (Stammfunktionen); 9HI5, 9HII5b; 10FII2 (komplexes Wegintegral); 10HI4; 11FI4 (Stammfunktionen), 11FII3 (reelles Integral mittels Residuensatz); 11HI3b (Residuensatz), 11HII3c, 11HIII4b 12FI1, 12FIII1,
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THEMA 7: Familien von Funktionen; Sonstiges, reelle Funktionen. Gemischte Übungen.
ÜBUNGEN: 7HIII1 (Kurzaufgaben zur Funktionentheorie); 9FIII4c (Kurzaufgabe zur Funktionentheorie); 10FII1, 10FII3 (Folgen holomorpher Funktionen); 10HI1; 12FII3
Aufgaben DGL
THEMA 1: Differentialgleichungen, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen, Trennung der Variablen.
ÜBUNGEN: 8FII1, 8FIII4, 9FIII1, 11FI1
THEMA 2: Weitere elementare Lösungsmethoden, Lebensdauer.
ÜBUNGEN: 7FII4 (Potenzreihenansatz), 8FI1; 8HI4 (Koordinatentransformation), 8HI5; 9FII1 (Koordinatentransformation),
THEMA 3: Lineare DGL
ÜBUNGEN: 10FIII1; 10HII5, 10HIII4; 11FII5, 11FIII1; 11HI4
THEMA 4: Stabilitätstheorie, Ljapunov-Funktionen
ÜBUNGEN:9HII1; 10FII4, 10FIII2; 11HI5, 11HII5;11FI3, 11FIII3
THEMA 5: Exakte Differentialgleichungen, integrierende Faktoren, erste Integrale
ÜBUNGEN:9FIII3; 9HII2; 10HII4; 11FII4
THEMA 6: Sonstiges.
ÜBUNGEN: 2HI5 (Randwertproblem), 3FI1 (Eindeutigkeit der Lösungen von DGL); 7HIII4 (Lebensdauer und Stabilität bei autonomem System); 8HIII1 (qualitative Aussagen über Lösungen von DGL), 8HIII3 (qualitative Aussagen über Lösungen von DGL); 9HI2 (Randwertproblem); 10FI3; 10HIII5 (Theorieaufgabe zur Variationsgleichung); 11FIII Aufgabe 2c (Grenzverhalten von Lösungen von DGL)