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\begin{document}
%\title{\bf\huge Extrapolationsverfahren f{\"u}r Zahlen-, Vektor- und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der Physikalischen und Theoretischen Chemie}
%\author{Herbert H. H. Homeier}
\frontmatter
%\maketitle
\begin{titlepage}
\begin{center}
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{\bf\huge Extrapolationsverfahren f{\"u}r\\ Zahlen-, Vektor- und
Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der Theoretischen und Physikalischen
Chemie\par}
%{\bf\huge EXTRAPOLATIONSVERFAHREN F{\"U}R ZAHLEN-, VEKTOR- UND
%MATRIZENFOLGEN UND IHRE ANWENDUNG IN DER PHYSIKALISCHEN UND
%THEORETISCHEN CHEMIE\par}

\vfill
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{\bf\Large
Habilitationsschrift
\vskip 2cm
{\bf\Large Naturwissenschaftliche Fakult\"at IV\\
-- Chemie und Pharmazie --\\
Universit\"at Regensburg}
\vskip 2cm
vorgelegt von \\[1cm]
{\bf\LARGE Herbert H. H. Homeier}
\vskip 1 cm
1996}
\end{center}
\end{titlepage}

\mainmatter
\chapter*{Zusammenfassung}
In dieser Arbeit werden Extrapolationsverfahren f\"ur Zahlen-, Vektor-
und Matrizenfolgen und ihre Anwendung in der Theoretischen und
Physikalischen Chemie behandelt.

Die Arbeit gliedert sich in drei Teile. In Teil I werden Methoden
f\"ur die Extrapolation vorgestellt und in ihren Eigenschaften
charakterisiert, in Teil II werden Anwendungen dieser Methoden auf eine
ganze Reihe verschiedener
Probleme aus dem Bereich der Theoretischen und Physikalischen Chemie
besprochen und in Teil III wird erg\"anzendes Material in Anh\"angen
bereitgestellt.


Nach einer Einleitung in Kapitel 1 beginnt Teil I. In Kapitel 2 werden
bekannte Verfahren f\"ur die Extrapolation von Zahlenfolgen besprochen.
Dabei werden zun\"achst als Grundlagen eine Klassifikation von
Zahlenfolgen, die f\"ur die richtige Wahl der Extrapolationsverfahren
hilfreich ist, einige allgemeine Kriterien f\"ur die Konstruktion von
Extrapolationsverfahren sowie die Rolle von Rekursionsschemata bei der
Darstellung und Implementierung dieser Verfahren besprochen. Im
Anschlu{\ss} werden dann wichtige bekannte Verfahren vorgestellt, soweit
sie f\"ur diese Arbeit von Bedeutung sind.

In Kapitel 3 werden iterative Folgentransformationen behandelt. Hier
werden zun\"achst Grundprinzipien zu und Probleme bei ihrer Konstruktion,
dann im Detail das Konzept der hierarchischen Konsistenz dargestellt,
das diese Probleme l\"osen hilft und eine neue methodische Basis f\"ur die
Konstruktion iterativer Verfahren an die Hand gibt. Dabei werden
Hierarchien von Modellfolgen eingef\"uhrt und die Iteration als Abbildung
zwischen den verschiedenen Ebenen der Hierarchie beschrieben. Dann wird die
$\mathcal{J}$-Transformation zum Thema, bei deren Herleitung und
theoretischen Behandlung das Konzept der hierarchischen Konsistenz in
voller Breite seine N\"utzlichkeit erweist. Da die
$\mathcal{J}$-Transformation eine sehr allgemeine Extrapolationsmethode
darstellt, wird sie gr\"undlich untersucht. Verschiedene effiziente
Algorithmen zu ihrer Berechnung werden eingef\"uhrt. Es werden
grundlegende mathematische Eigenschaften dieser Transformation
bewiesen. Der explizite Kern der Transformation wird abgeleitet, was
insofern beachtenswert ist, als dies f\"ur die meisten anderen iterativen
Transformation bisher nicht oder nur unvollst\"andig gelungen ist. F\"ur
die theoretische Charakterisierung der Transformation werden
Determinantendarstellungen angegeben und eine Reihe von S\"atzen
bewiesen, in denen die Konvergenzeigenschaften behandelt werden.
Ausf\"uhrlich wird auf die Relation zu anderen Folgentransformationen
eingegangen. Dabei zeigt sich, da{\ss} viele bekannte Verfahren
Spezialf\"alle der $\mathcal{J}$-Transformation sind. Durch die Vielzahl
von Varianten aufgrund von verschiedener Wahl von Hierarchie sowie der
Restabsch\"atzungen erweist sich die $\mathcal{J}$-Transformation als
sehr flexibel. Sie kann aufgrund einfacher heuristischer Prinzipien an
eine Vielzahl von Problemen angepa{\ss}t werden. Daher verwundert es nicht,
da{\ss} die am Ende von Kapitel 3 dargestellten numerischen Tests erweisen,
da{\ss} geeignete Varianten der $\mathcal{J}$-Transformation zu den besten
bekannten Transformationen bei gutuntersuchten Modellproblemen geh\"oren.

In Kapitel 4 werden die im Zusammenhang von Levin-artigen
Transformationen bedeutsamen Restabsch\"atzungen genauer untersucht. Es
wird im besonderen auf die M\"oglichkeiten eingegangen, die sich bieten,
falls eine Kummer-Transformation f\"ur die Partialsummen unendlicher
Reihen m\"oglich ist, wenn also das asymptotische Verhalten der Terme
bekannt ist und eine asymptotisch verwandte Reihe geschlossen
aufsummiert werden kann. Es wird eine neue Form der Restabsch\"atzung
vorgeschlagen, die auf dieser verwandten Reihe basiert. In numerischen
Beispielen wird demonstriert, da{\ss} dieses neue Verfahren bekannten
durchaus \"uberlegen sein kann.

In Kapitel 5 wird auf Verfahren f\"ur die Extrapolation von
Orthogonalentwicklungen eingegangen. Es  werden am Anfang
Methoden f\"ur Fourier-Reihen behandelt. Zun\"achst wird die
$\mathcal{H}$-Transformation auf der Grundlage einer Modellfolge
eingef\"uhrt, die die von Levin verallgemeinert. Rekursive Algorithmen
zur effizienten Berechnung und grundlegende mathematische Eigenschaften
dieser Transformation werden abgeleitet. Im Anschlu{\ss} werden S\"atze
bewiesen, die Aussagen \"uber die Konvergenzbeschleunigung mittels der
$\mathcal{H}$-Transformation beinhalten. Es wird auf die
Implementierung der Transformation eingegangen, was zu einem sehr
einfachen Programm mit geringen Speicherplatzanforderungen f\"uhrt. Dies
ist als Beispiel f\"ur die \"ahnlich knappen und effizienten Programme der
anderen neu eingef\"uhrten Transformationen in Anhang D
angegeben. Numerische Beispiele belegen, da{\ss} diese Transformation sehr
erfolgreich zur Konvergenzbeschleunigung von Fourier-Reihen eingesetzt
werden kann. Eine Verallgemeinerung der $\mathcal{H}$-Transformation
auf Fourier-Reihen mit mehrere Grundfrequenzen wird hergeleitet. Im Anschlu{\ss}
wird als eine iterative Methode f\"ur die Extrapolation von
Fourier-Reihen die $\mathcal{I}$-Transformation eingef\"uhrt, wobei das
Konzept der hierarchischen Konsistenz zur Herleitung und
Charakterisierung eingesetzt wird. Verschiedene Algorithmen zur
effizienten Berechnung dieser Transformation werden diskutiert. Mit
numerischen Test wird belegt, da{\ss} diese Transformation ebenfalls in der
Lage ist, Fourier-Reihen zu beschleunigen, wobei geeignete Varianten
\"ahnlich effizient wie die $\mathcal{H}$-Transformation sein k\"onnen. Es
wird auf die besonderen Schwierigkeiten eingegangen, die sich in der
N\"ahe von Sprungstellen und Singularit\"aten ergeben, und als Ausweg die
Verwendung der Methode der Frequenzvervielfachung eingef\"uhrt. Als
Alternative zur Verwendung spezieller Algorithmen f\"ur Fourier-Reihen
wird vorgeschlagen, die Fourier-Reihen auf andere Reihentypen
zur\"uckzuf\"uhren, f\"ur die dann die aus Kapitel 2 und 3 bekannten
Verfahren anwendbar werden. Hier spielt einerseits die R\"uckf\"uhrung auf
alternierende Reihen eine Rolle, die sich als recht erfolgreich in der
N\"ahe von Singularit\"aten erweist, andererseits die R\"uckf\"uhrung auf
komplexe Potenzreihen. Diese ist in einfacher Form schon lange bekannt
(Methode der assozierten Reihen f\"ur reelle Reihen, deren Koeffizienten
nicht oszillieren), konnte aber in der Methode der zugeordneten Reihen
und vor allem in der neu eingef\"uhrten verallgemeinerten Methode der
zugeordneten Reihen zu einer effizienten Verfahrensweise f\"ur
kompliziertere F\"alle ausgebaut werden. Im Anschlu{\ss} wird gezeigt, wie
man diese Methoden auf Entwicklungen nach Orthogonalpolynomen
verallgemeinern kann. Als iteratives Verfahren wird die
$\mathcal{K}$-Transformation auf der Grundlage des Konzepts von der
hierarchischen Konsistenz eingef\"uhrt, f\"ur die einfache Algorithmen
vorliegen. Alternativ kann man auch hier die verallgemeinerte Methode
der zugeordneten Reihen verwenden. Beide Verfahren kann man in der
N\"ahe von Singularit\"aten mit der Methode der Frequenzvervielfachung
kombinieren. Die Effizienz beider Zug\"ange wird mittels numerischer
Beispiele belegt.

In Kapitel 6 werden Extrapolationsverfahren vorgestellt, die auf
st\"orungstheoretische Probleme zugeschnitten sind. Ein Problem, das die
Anwendung anderer Extrapolationsmethoden behindert, ist die oft nur
kleine Zahl der berechenbaren Terme der St\"orungsentwicklung. Es werden
Verfahren besprochen, die auf einer einfachen Renormierung der
St\"orungsreihe beruhen, bei der der ungest\"orte Hamilton-Operator mit
einem konstanten Faktor skaliert wird, der variativ bestimmt wird. Dies
f\"uhrt zu neuen Approximationen der Gesamtenergie \"uber die
Goldhammer-Feenberg- und die Feenberg-Reihe. Alternativ kann man das
Verfahren der effektiven charakteristischen Polynome verwenden, in dem
die Koeffizienten des Polynoms nicht im Sinne eines linearen
Variationsverfahrens, sondern durch Anpassung an die St\"orungstheorie
bestimmt werden.

In den Kapiteln 7 und 8 werden Extrapolationsverfahren f\"ur Vektor- und
Matrixfolgen behandelt. In Kapitel 7 werden bekannte Verfahren
besprochen, wobei zun\"achst als Grundlagen das Konzept der
Pseudoinversen, die bei Vektoren echte Inverse ersetzen, ferner
Besonderheiten bei Iterationsfolgen sowie Funktionen von Matrizen
im allgemeinen behandelt werden. Im Anschlu{\ss} werden dann einige bekannte
Algorithmen f\"ur Vektor- und Matrixfolgen vorgestellt.

In Kapitel 8 werden Verallgemeinerungen der
$\mathcal{J}$-Transformation auf Vektor- und Matrixfolgen eingef\"uhrt.
Diese st\"utzen sich auf die in Kapitel 7 eingef\"uhrten Pseudoinversen und
stellen Transformationen mit gro{\ss}em Potential f\"ur die Anwendungen dar.
Dies wird durch numerische Beispiele belegt, bei denen die Berechnung
der Matrixexponentialfunktion behandelt wird.

Mit Kapitel 9 beginnt Teil 2. In Kapitel 9 wird besprochen, wie
Extrapolationsverfahren auf die Berechnung der Linienform
spektraler L\"ocher angewendet werden k\"onnen. Dazu wird zun\"achst ein
einfaches Modell umrissen, in dem bestimmte Faltungsintegrale
auftauchen. Im Anschlu{\ss} werden Darstellungen f\"ur diese
Faltungsintegrale diskutiert, auf deren Grundlage dann die Integrale
berechnet werden. Als Beispiel wird die Bestimmung von interessierenden
Parametern durch den Fit experimenteller Daten unter Verwendung von  auf den
Extrapolationsverfahren beruhenden Programmen dargelegt.

In Kapitel 10 werden Anwendungen der in Kapitel 5 eingef\"uhrten Methoden
f\"ur Orthogonalentwicklungen auf Multipolentwicklungen des
elektrostatischen Potentials sowie dreizentrige Kernanziehungsintegrale
mit exponentialartigen Basisfunktionen diskutiert.  An einem einfachen
Beispiel wird dann gezeigt, da{\ss} Extrapolationsverfahren --- hier in
Gestalt der $\mathcal{K}$-Transformation --- zu deutlichen
Konvergenzverbesserungen bei Multipolentwicklungen und Entwicklungen
dreizentriger Kernanziehungsintegrale nach Kugelfl\"achenfunktionen
f\"uhren k\"onnen.

In Kapitel 11 wird die Berechnung von Quasiteilchenkorrekturen auf der
Basis der inversen Dyson-Gleichung referiert. Diese ist von
Interesse, um den Einflu{\ss} der Korrelation im Rahmen eines
Einteilchenbildes zu beschreiben. Die inverse
Dyson-Gleichung in diagonaler N\"aherung wird durch direkte Iteration
gel\"ost. Es wird gezeigt, wie man diese Methode durch ein geeignetes
Extrapolationsverfahren, das Overholt-Verfahren drastisch beschleunigen
kann.

In Kapitel 12 werden die in Kapitel 6 beschriebenen Methoden auf die
M{\o}ller-Plesset-St\"orungsreihe angewandt. Es wird gezeigt, da{\ss} diese
kombinierten Methoden zu N\"aherungen f\"uhren, die {\em size-extensive} sind.
Au{\ss}erdem wird durch Betrachtung einer Vielzahl von Benchmarkrechnungen
an kleineren Molek\"ulen gezeigt, da{\ss} die Feenberg-,
Goldhammer-Feenberg- und Pad{\'e}-Extrapolationen sowie die
$\Pi_2$-Methode auf der Grundlage von effektiven charakteristischen
Polynomen zu verl\"a{\ss}lichen und genauen Sch\"atzwerten f\"ur die
Korrelationsenergie f\"uhren. Es wird vorgeschlagen, die Abweichung der
verschiedenen N\"aherungen untereinander als Kriterium f\"ur die
Anwendbarkeit der auf der M{\o}ller-Plesset-St\"orungsreihe basierenden
Verfahren zu verwenden.

In Kapitel 13 wird die L\"osung der Ornstein-Zernike-Gleichung mit
verschiedenen Abschlu{\ss}relationen behandelt. Die L\"osung dieser Gleichung
liefert die Zweiteilchenverteilungsfunktion $g$ der klassischen
Vielteilchentheorie, aus der man die thermodynamischen Eigenschaften
des jeweils betrachteten Systems berechnen kann. Die
Ornstein-Zernike-Gleichung mit dem jeweiligen Abschlu{\ss} ist eine nichtlineare
Integralgleichung, die man durch direkte Iteration l\"osen kann. Es wird
gezeigt, da{\ss} man durch die Verwendung einer Variante der
Vektor-$\mathcal{J}$-Transformation den Rechenaufwand um bis zu 50 \%
verringern kann. Au{\ss}erdem werden Beispiele vorgestellt, bei denen eine
bei direkter Iteration divergente Iterationsfolge durch das
Extrapolationsverfahren in eine konvergente Folge transformiert wird.

Die vorliegende Zusammenfassung beschlie{\ss}t Teil 2.

In Teil 3 findet man als erg\"anzendes Material einige Anh\"ange. In Anhang
A werden grundlegende Notationen und Definitionen zusammengestellt. In
Anh\"angen B und C werden einige mehr technische Lemmas bewiesen, die die
Ausf\"uhrungen in den Kapiteln 3 und 9 erg\"anzen. In Anhang D wird
exemplarisch f\"ur verschiedene Extrapolationsverfahren ein
Fortran-Programm f\"ur die Implementierung der
$\mathcal{H}$-Transformation vorgestellt. In Anhang E schlie{\ss}lich wird
gezeigt, wie man die Methode der effektiven charakteristischen Polynome
aus Kapitel 6 auf den Fall mehrerer St\"orungsreihen erweitern kann.

\end{document}