Exercices pour le cours Géométrie différentielle Bernd Ammann, 2005–2006 Feuille 1 29 novembre 2005

1 Montrer qu’il existe une unique métrique sur ℂP^{n}, telle que l’application

S^{2n+1} → ℂP^{n}, p ↦ [p]

est une submersion riemannienne.

2 Soit γ : (a,b) → M une géodésique. Détérminer toutes les applications lisses ρ : (c,d) → (a,b) telles que γ ∘ ρ est une géodésique. Quelle est la relation entre E[γ] et E[γ ∘ ρ]?

3 Soit (M,g) et (N,h) des variétés riemanniennes. Une isométrie de (M,g) à (N,h) est un difféomorphisme φ : M → N, tel que

h(dφ(X),dφ(Y)) = g(X,Y) ∀X,Y ∈ T_{p}M ∀p ∈ M

Soit γ : (a,b) → M une géodésique. Montrer que φ ∘ γ est une géodésique de N. En utilisant ce fait, déterminer l’ensemble de toutes les géodésiques de S^{n}.

4 Soit X un champ de vecteurs sur une variété compacte. Montrer qu’il y a une courbe γ : ℝ → X, telle que X_{γ(t)} = γ̇(t) pour tout t ∈ ℝ.

5 Formule de transformation pour les symboles de Christoffel. Soit M une variété riemannienne et soient φ: U^{φ} → V^{φ}, ψ: U^{ψ} → V^{ψ} deux cartes de M. Soient g_{ij}^{φ} et g_{ij}^{ψ} les composantes de la métrique par rapport aux cartes φ et ψ, et soient ^{φ}Γ_{ij}^{k} et ^{ψ}Γ_{rs}^{t} les symboles de Christoffel asociés à φ et ψ. Montrer que:

∑_{k} ^{φ}Γ_{ij}^{k} g_{kv}^{φ} = ∑_{t,s} \frac{∂ψ^{t}}{∂φ^{v}} \frac{∂^{2}ψ^{s}}{∂φ^{j} ∂φ^{i}} g_{st}^{ψ} + ∑_{r,s,t,w} \frac{∂ψ^{r}}{∂φ^{i}} \frac{∂ψ^{s}}{∂φ^{j}} \frac{∂ψ^{w}}{∂φ^{v}} ^{ψ}Γ_{rs}^{t} g_{tw}^{ψ}.

6 Soit f : (M,g) → (N,h) une submersion riemannienne. Une courbe γ : (a,b) → M est dite horizontal si γ̇(t) est orthogonal au fibres de f. Montrer que une courbe horizontal γ : (a,b) → M est une géodésique de (M,g) si et seulement si f ∘ γ est une géodésique de (N,h).

TD: 6 décembre 2005, 8:30 à 10:00, Salle 313. Rendez vos solutions dans mon casier, le 5 décembre jusqu’à 15:00 heures, s’il vous plaît.

http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/master