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Geometrie (Lehramt Gymnasium), SS 2021
Prof. Dr. C. LöhAktuelles
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Lösungsvorschläge zur Probeklausur (vom 20.07.2021)
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist. - Pandemie-Hinweise zur Klausur: pdf
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Probeklausur (vom 16.07.2021)
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten. Lösungsvorschläge werden am 20. Juli bereitgestellt. - Das Wiederholungsblatt ist online: pdf; keine Abgabe (aber mit Selbstkontrolle)
- Der Plan für Woche 14 ist online: pdf; freiwillige Abgabe -- die Punkte sind Bonuspunkte. Es ist aber empfehlenswert, die Aufgaben zu bearbeiten, um hyperbolische Geometrie zu üben.
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Das Skript ist
aktualisiert (16.07.2021): pdf
ocg-freie Version: pdf
Korrektur-Tracker: hier - Das Ergebnis der Evaluation ist in GRIPS. Vielen Dank für Ihre Rückmeldungen!
- Die Vorlesung bleibt den Rest des Semesters online (also genauso wie bisher); das vermeidet Chaos, Umstellungen sowie die Abhängigkeit von den Rahmenbedinungen und verleitet weniger zur unnötigen Durchmischung.
- WS 2021/22: Seminar: Proof Lab: Simplicial Topology. Dieses Seminar ist auch für Lehramtsstudenten geeignet.
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Klausur: Falls die Klausur in Präsenz stattfinden
kann, wird sie in Präsenz stattfinden (das ist derzeit
noch nicht gut vorherzusagen, die Chancen stehen aber recht
gut).
Falls Sie aus gesundheitlichen Gründen nicht an einer Präsenzklausur teilnehmen können/möchten: Bitte lassen Sie mich das per email wissen (es sind keine Nachweise o.ä. erforderlich -- es geht nur darum, die Organisation entsprechend vorzubereiten). -
Es gibt nun eine ocg-freie Version des Skripts:
pdf
(Falls Ihr pdf-Viewer ocg nicht unterstützt oder Sie das Dokument mit allen Antworten drucken wollen; normalerweise sollten Sie aber die Version verwenden, in der die Antworten nicht alle bereits angezeigt werden. Acrobat Reader, evince, Foxit, okular (neue Versionen) haben keine Schwiergkeiten mit ocg.) - Link zur Grips-Seite zu dieser Vorlesung: hier
- Organisatorische Hinweise zur Vorlesung: pdf
- Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf
- Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
Geometrie
Die Geometrie hat sich von ihren Ursprüngen in der Landvermessung zu einem außerordentlich vielseitigen mathematischen Gebiet entwickelt. Einerseits helfen Methoden aus der Analysis, Algebra, Topologie, ... geometrische Fragestellungen zu beantworten; andererseits sind geometrische Argumente oft der Schlüssel zur Lösung von Problemen aus anderen Gebieten der Mathematik.
In dieser Vorlesung werden wir verschiedene Facetten der Geometrie, ihre Bezüge zu anderen mathematischen Gebieten sowie ihre Anwendungen kennenlernen. Insbesondere werden wir uns mit Symmetrien und lokalen und globalen Krümmungsphänomenen beschäftigen. Dabei werden wir auch darauf eingehen, wie diese abstrakten Formen der Geometrie wertvolles Hintergrundwissen für die Schulgeometrie liefern und somit zu einem fundierten Geometrieunterricht führen.
Inhalt der Vorlesung sind:
- Axiomatisierungen der Geometrie
- Modelle der Geometrie: Kombinatorische Geometrie, metrische Geometrie, elementare riemannsche Geometrie
- Lokale und globale Krümmungsbegriffe
- Symmetrien
- Anwendungen der Geometrie
Vorlesungstermine
Dienstag, 8:30--10:00,Freitag 8:30--10:00
Aufgrund der Covid-19-Pandemie wird diese Vorlesung bis auf weiteres online stattfinden, basierend auf:
- angeleitetem Selbststudium (mithilfe eines ausführlichen Vorlesungsskriptes)
- interaktiven Online-Vorlesungsterminen (via Zoom)
- Online-Übungsgruppen (via Zoom)
- einem informellen Chat-Forum
- Erste Vorlesung: Am Di, 13.04.2021, 8:30. Wir werden insbesondere organisatorische Details besprechen und ich werde einen kurzen Überblick über die Vorlesung geben.
- Letzte Vorlesung: Voraussichtlich am Fr, 16.07.2021, 8:30.
- Die Zugangsdaten finden Sie auf der GRIPS-Seite zur Vorlesung.
Übungen
Es werden voraussichtlich drei Übungsgruppen stattfinden; die Details werden rechtzeitig bekanntgegeben.-
Termine:
- Di, 12--14
- Mi, 10--12
- Fr, 12--14
- Die Einteilung der Übungsgruppen erfolgt in der ersten Vorlesungswoche via GRIPS: Details/Fristen: pdf
- Der Übungsbetrieb beginnt in der zweiten Vorlesungswoche (Besprechung der Aufgabenserie 0).
- Die Abgabe/Rückgabe erfolgt via Grips.
Vorlesungsskript
- Skript zur Vorlesung: pdf.
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ocg-freie Version des Skripts
pdf
(Falls Ihr pdf-Viewer ocg nicht unterstützt oder Sie das Dokument mit allen Antworten drucken wollen; normalerweise sollten Sie aber die Version verwenden, in der die Antworten nicht alle bereits angezeigt werden. Acrobat Reader, evince, Foxit, okular (neue Versionen) haben keine Schwiergkeiten mit ocg.) - Korrektur-Tracker: hier.
- Literaturhinweise
- Einführung: Was ist Geometrie?
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Mini-Geometrie
- Axiomatische Geometrie
- Axiome der Mini-Geometrie
- Axiome vs. Modelle
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Formalisierung und Verifikation
[Beweisassistenten, Eine Formalisierung von Mini-Geometrie, Beweis einer offensichtlichen(?) Aussage, Beispiel-Modelle, Unabhängigkeit des Parallelenaxioms] - Symmetrie
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Der geometrische Blickwinkel
[Ramsey-Zahlen, Das Spiel SET, Strategie via Symmetrie, Der Heiratssatz] -
Der eulersche Polyedersatz
[Geometrische Realisierung von Graphen, Der eulersche Polyedersatz, Anwendungen: Färbungen und Nicht-Planarität]
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Metrische Geometrie
- Metrische Räume
- Geodäten
- Länge von Kurven
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Kreise und Konstruierbarkeit
[Kreise, Sphären, Bälle; Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal] - Symmetrie
- Das Extremalprinzip
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Euklidische Geometrie
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Normierte Räume und Skalarprodukte
[Normierte Räume; Skalarprodukte; Orthogonalität] -
Kurven
[Analytische Grundlagen; Länge von Kurven; Parametrisierung nach Bogenlänge; Krümmung von Kurven] -
Winkel
[Winkel; Winkelsumme in euklidischen Dreiecken; Flächeninhalte] -
Symmetrie
[Winkeltreue; Die euklidische Isometriegruppe; Kongruenz; Reguläre Polygone; Reguläre Polyeder] -
Pflasterungen der euklidischen Ebene
[Reguläre Pflasterungen der euklidischen Ebene; Aperiodische Pflasterungen der euklidischen Ebene]
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Normierte Räume und Skalarprodukte
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Elementare riemannsche Geometrie
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Was ist riemannsche Geometrie?
[Wozu riemannsche Geometrie? Mannigfaltigkeiten und Tangentialbündel; Riemannsche Metriken; Metriken aus riemannschen Metriken] - Konstruktion der hyperbolischen Ebene
- Länge von Kurven
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Symmetrie
[Riemannsche Isometrien; Möbiustransformationen; Transitivität der Möbiustransformationen Geodäten der hyperbolischen Ebene, Winkel, Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene] -
Hyperbolische Dreiecke
[Flächen, Winkel und der Satz von Gauß-Bonnet; Reguläre hyperbolische Dreiecke; hyperbolische Dreiecke sind dünn] - Vergleich mit sphärischer Geometrie
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Was ist riemannsche Geometrie?
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Anhang
- Der rote Faden
- Hilberts Axiomatik
- Eine viel zu kurze Einführung in Lean
- Kategorien
- Funktoren
- Elementare Analysis von Sinus und Kosinus
- Das Banach-Tarski-Paradoxon
- Penrose-Puzzle
Übungsblätter und wöchentliche Lesepläne
Der erste Upload ist am 13.04. Danach wird jeweils freitags das Material (Skript, Leseplan, Übungsaufgaben) für die darauffolgende Woche bereitgestellt.Wochenpläne:
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Woche 1
(angekündigt am 13.04.2021);
Vorlesung vom 13.04./16.04.,
Aufgabenserie 0 (keine Abgabe; Besprechung in den Übungen vom 20.-23. April) -
Woche 2
(angekündigt am 16.04.2021);
Vorlesung vom 20.04./23.04.,
Aufgabenserie 1 (Abgabe bis 23.04., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 27.-30. April) -
Woche 3
(angekündigt am 23.04.2021);
Vorlesung vom 27.04./30.04.,
Aufgabenserie 2 (Abgabe bis 30.04., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 4.--7. Mai)
Für Aufgabe 3/4: minigeometry_exercise.lean -
Woche 4
(angekündigt am 30.04.2021);
Vorlesung vom 04.05./07.05.,
Aufgabenserie 3 (Abgabe bis 07.05., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 11.--14. Mai) -
Woche 5
(angekündigt am 07.05.2021);
Vorlesung vom 11.05./14.05.,
Aufgabenserie 4 (Abgabe bis 14.05., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 18.--21. Mai) -
Woche 6
(angekündigt am 14.05.2021);
Vorlesung vom 18.05./21.05.,
Aufgabenserie 5 (Abgabe bis 21.05., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 25(?).--28. Mai) -
Woche 7
(angekündigt am 21.05.2021);
Vorlesung vom 28.05.,
Aufgabenserie 6 (Abgabe bis 28.05., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 1.--4. Juni)
Für Aufgabe 3: circles_exercise.tex;
circlecircles_exercise.tex -
Woche 8
(angekündigt am 28.05.2021);
Vorlesung vom 01.06./04.06.,
Aufgabenserie 7 (Abgabe bis 04.06., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 8.--11. Juni) -
Woche 9
(angekündigt am 04.06.2021);
Vorlesung vom 08.06./11.06.,
Aufgabenserie 8 (Abgabe bis 11.06., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 15.--18. Juni) -
Woche 10
(angekündigt am 11.06.2021);
Vorlesung vom 15.06./18.06.,
Aufgabenserie 9 (Abgabe bis 18.06., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 22.--25. Juni) -
Woche 11
(angekündigt am 18.06.2021);
Vorlesung vom 22.06./25.06.,
Aufgabenserie 10 (Abgabe bis 25.06., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 29.--32. Juni)
Für Aufgabe 4: caleidoscope_exercise.tex;
Für die Bonusaufgabe: cube_exercise.scad -
Woche 12
(angekündigt am 25.06.2021);
Vorlesung vom 29.06./02.07.,
Aufgabenserie 11 (Abgabe bis 02.07., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 6.--9. Juli) -
Woche 13
(angekündigt am 02.07.2021);
Vorlesung vom 06.07./09.07.,
Aufgabenserie 12 (Abgabe bis 09.07., 8:30; Besprechung in den Übungen vom 13.--16. Juli) -
Woche 14
(angekündigt am 09.07.2021);
Vorlesung vom 13.07./16.07.,
Aufgabenserie 13 (freiwillige Abgabe bis 16.07., 8:30) -
Wiederholungsblatt
(angekündigt am 16.07.2021);
Aufgabenserie 14 (keine Abgabe)
Notizen aus der Vorlesung
- Notizen der aktuellen Vorlesung: pdf
- 13.04.2021: Notizen
- 16.04.2021: Notizen
- 20.04.2021: Lean-Code
- 23.04.2021: Notizen
- 27.04.2021: Notizen; Daily SET puzzle
- 30.04.2021: Notizen;
- 04.05.2021: Notizen;
- 07.05.2021: Notizen;
- 11.05.2021: Notizen;
- 14.05.2021: Notizen; Euclidea
- 18.05.2021: Notizen
- 21.05.2021: Notizen
- 28.05.2021: Notizen
- 01.06.2021: Notizen
- 04.06.2021: Notizen
- 08.06.2021: Notizen
- 11.06.2021: Notizen
- 15.06.2021: Notizen
- 18.06.2021: Notizen
- 22.06.2021: Notizen
- 25.06.2021: Notizen
- 29.06.2021: Notizen
- 02.07.2021: Notizen
- 06.07.2021: Notizen
- 09.07.2021: Notizen; Escher/Coxeter: Cirkellimiet IV
- 13.07.2021: Notizen; The great circle mapper (z.B.: MUC-NRT, MUC-SFO, MUC-FUN, MUC-WLG)
- 16.07.2021: Notizen; ico_lecture.pov; ico_lecture.png
Quellcode
- Eine Formalisierung von Mini-Geometrie in Lean: minigeometry.lean
- Woche 3, Aufgabenserie 2: Für Aufgabe 3/4: minigeometry_exercise.lean
- Eine (sehr spärliche) Formalisierung metrischer Räume in Lean: metricspace.lean
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Woche 7, Aufgabenserie 6:
Für Aufgabe 3:
circles_exercise.tex;
circlecircles_exercise.tex - Eine einfache Abschätzung von Beträgen (wie im Beweis von Proposition 3.1.14 verwendet): absestimate.lean
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Woche 11, Aufgabenserie 10:
Für Aufgabe 4: caleidoscope_exercise.tex;
Für die Bonusaufgabe: cube_exercise.scad - Ikosaeder in Povray: ico_lecture.pov; ico_lecture.png
Literatur
Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren -- Sie sollten also individuell die Literatur auswählen, die am besten zu Ihnen passt.Eine Auswahl finden Sie im Skript
Voraussetzungen
Sie sollten über solide Kenntnisse in Analysis I/II, Lineare Algebra I/II und Grundkenntnisse in Gruppentheorie (wie etwa im Rahmen der linearen Algebra) verfügen.Kenntnisse über Mannigfaltigkeiten aus Analysis IV sind nicht erforderlich.
Prüfung/Leistungsnachweis
- Diese Vorlesung ist Bestandteil des Moduls MAT-LA-GyGeo (Lehramt Gymnasium, Vertiefung Geometrie).
- Studien-/Prüfungsleistungen: siehe KVV
- Organisatorische Hinweise zur Vorlesung: pdf
- Hinweise zur Bearbeitung von Übungsaufgaben: pdf
- Hinweise zur Klausurvorbereitung: pdf
- Pandemie-Hinweise zur Klausur: pdf
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Klausurtermin: Freitag, 23. Juli 2021, 9:00--11:00, H 36.
Je nach Gesamtlage in Präsenz (derzeit die wahrscheinlichere Option)oder als Take-Home-Open-Book-Klausur.
Es sind keinerlei Hilfsmittel wie Taschenrechner, Computer, Bücher, Vorlesungsmitschriften, Mobiltelephone etc. gestattet; Papier wird zur Verfügung gestellt. Alle Täuschungsversuche führen zum Ausschluss von der Klausur; die Klausur wird dann als nicht bestanden gewertet! -
Wiederholungsklausur: Mittwoch, 6. Oktober 2021, 9:00--11:00, H 31.
Achtung: Es ist derzeit nicht absehbar, ob zu diesem Zeitpunkt Präsenzklausuren abgehalten werden können; dieser Termin steht also unter Vorbehalt! -
Probeklausur (vom 16.07.2021)
Bitte bedenken Sie, dass die Probeklausur nur dann eine sinnvolle Einschätzung Ihrer Fähigkeiten ermöglicht, wenn Sie die Probeklausur unter Klausurbedingungen (d.h. ohne Hilfsmittel und im vorgegebenen Zeitrahmen) bearbeiten. Lösungsvorschläge werden am 20. Juli bereitgestellt. -
Lösungsvorschläge zur Probeklausur (vom 20.07.2021)
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist. - Klausur (vom 23.07.2021)
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Lösungsvorschläge zur Klausur
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist. - Wiederholungslausur (vom 06.10.2021)
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Lösungsvorschläge zur Wiederholungsklausur
Bitte beachten Sie, dass es viele Möglichkeiten gibt, Aufgaben korrekt und vollständig zu lösen und dass dies nur eine Auswahl ist.
Letzte Änderung: 06.10.2021