Geometrische Gruppentheorie, WS 2014/15

Aktuelles

Das Skript ist aktualisiert (Version vom 30. Januar 2015). (Es fehlen noch ein paar Referenzen und ergänzendes Material).
Blatt 15 vom 30. Januar 2015 ist online (keine Abgabe). (Es war zunächst aus Versehen eine unvollständige Vesion online; dies ist nun korrigiert).
Das Ergebnis der Evaluation finden Sie in Grips.
Die Vorlesung wird im SS 2015 durch die Vorlesung Geometrische Gruppentheorie II (Arbeitsgruppe Löh: Matthias Blank, Werner Thumann) fortgesetzt; diese Veranstaltung ist aber auch gut mit anderen Vorlesungen aus der Globalen Analysis kombinierbar.
Die Vorlesungsevaluation war am Freitag, den 21.11.2014, um 11:00 statt.
Die organisatorischen Hinweise zur Vorlesung sind online.

Geometrische Gruppentheorie

Die geometrische Gruppentheorie befasst sich mit folgenden Fragestellungen:

Kann man Gruppen als geometrische Objekte ansehen und wie h�ngen geometrische mit algebraischen Eigenschaften von Gruppen zusammen?
Allgemeiner: Auf welchen geometrischen Objekten k�nnen gegebene Gruppen sinnvoll operieren und wie h�ngen die Eigenschaften der entsprechenden geometrischen Objekte mit algebraischen Eigenschaften der Gruppen zusammen?

Zum Beispiel gibt es einen engen Zusammenhang zwischen freien Gruppen und Operationen auf B�umen; dies liefert einen eleganten Beweis der Tatsache, dass Untergruppen von freien Gruppen frei sind.

In dieser Vorlesung werden wir untersuchen, wie das �bersetzen geometrischer Begriffe wie Geod�ten, Kr�mmung, Volumina etc. in die Welt der Gruppentheorie eine interessante Symbiose zwischen Geometrie und Algebra liefert.

Der genaue Inhalt der Vorlesung wird auf die Vorkenntnisse der Teilnehmer abgestimmt.

Die Vorlesung wird im SS 2015 durch die Vorlesung Geometrische Gruppentheorie II (Arbeitsgruppe Löh: Matthias Blank, Werner Thumann) fortgesetzt; diese Veranstaltung ist aber auch gut mit anderen Vorlesungen aus der Globalen Analysis kombinierbar.

Skript zur Vorlesung: pdf. Themen bisher:

Introduction
Generating groups
- Review of the category of groups
  [Axiomatic description of groups , Concrete groups -- automorphism groups , Normal subgroups and quotients]
- Groups via generators and relations
  [Generating sets of groups , Free groups , Generators and relations]
- New groups out of old
  [Products and extensions, free products and amalgamated free products]
Groups to Geometry, I: Cayley Graphs
- Review of graph theory notation
- Cayley graphs
- Cayley graphs of free groups
  [Free groups and reduced words, Free groups to trees, Trees to free groups]
Groups to Geometry, II: Group Actions
- Review of group actions
  [Free actions, Orbits and stabilisers, Application: Counting via group actions]
- Free groups and actions on trees
  [Spanning trees, Completing the proof]
- Application: Subgroups of free groups are free
- The ping-pong lemma
- Application: Free subgroups of matrix groups
Groups to Geometry III, Quasi-isometry
- Quasi-isometry types of metric spaces
- Quasi-isometry types of groups
  [First examples]
- The Svarc-Milnor-Lemma
  [Quasi-geodesics and quasi-geodesic spaces, The Svarc-Milnor lemma, Applications of the Svarc-Milnor lemma to group theory, geometry, and topology]
- The dynamic criterion for quasi-isometry
  [Applications of the dynamic criterion]
- Preview: Quasi-isometry invariants and geometric properties
  [Quasi-isometry invariants, Functorial quasi-isometry invariants, Geometric properties of groups]
Growth types of groups
- Growth functions of finitely generated groups
- Growth types of groups
  [Growth types , Growth types and quasi-isometry , Application: volume growth of manifolds]
- Groups of polynomial growth
  [Nilpotent groups , Growth of nilpotent groups , Groups of polynomial growth are virtually nilpotent , Applications of the polynomial growth theorem]
Hyperbolic groups
- Classical curvature, intuitively
  [Curvature of plane curves , Curvature of embedded surfaces]
- (Quasi-)Hyperbolic spaces
  [Hyperbolic spaces, Quasi-hyperbolic spaces, Quasi-geodesics in hyperbolic spaces, Hyperbolic graphs]
- Hyperbolic groups
- Application: "Solving" the word problem
- Elements of infinite order in hyperbolic groups
  [Existence of elements of infinite order in hyperbolic groups, Centralisers of elements of infinite order in hyperbolic groups, Application: Products and negative curvature, Free subgroups of hyperbolic groups]
Ends and boundaries
- Geometry at infinity
- Ends of groups
- Boundary of hyperbolic groups
- Application: Mostow rigidity
Amenable Groups
- Amenability via means
  [First examples of amenable groups, Inheritance properties]
- Further Characterisations of amenable groups
  [Folner sequences, Paradoxical decompositions, Application: The Banach-Tarski paradox, (Co)Homological characterisations of amenability]
- Quasi-isometry invariance of amenability
- Quasi-isometry and bilipschitz equivalence
  [Bilipschitz equivalence rigidity]
Appendix
- The fundamental group, a primer
- The (von) Neumann forest
- Geometric realisation of graphs

Vorlesungstermine

Di 10--12, M 104, Fr 10--12, M 102

Übungen

Mi 8:30--10:00, M 101

Literatur

M.R. Bridson, A. Haefliger. Metric Spaces of Non-positive Curvature, Band 319 der Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer, 1999.
P. de la Harpe. Topics in Geometric Group Theory, Chicago University Press, 2000.
J.-P. Serre. Trees, �bersetzt aus dem franz�sischen Original von J. Stillwell. Korrigierte zweite Auflage der englischen �bersetzung von 1980, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2003.
Es wird voraussichtlich ein Skript zur Vorlesung geben.

Übungsblätter

Blatt 0	vom 7. Oktober 2014;	keine Abgabe;	Besprechung am 15. Oktober 2014
Blatt 1	vom 10. Oktober 2014;	Abgabe bis 17. Oktober;	Besprechung am 22. Oktober 2014
Blatt 2	vom 17. Oktober 2014;	Abgabe bis 24. Oktober;	Besprechung am 29. Oktober 2014
Blatt 3	vom 24. Oktober 2014;	Abgabe bis 31. Oktober;	Besprechung am 5. November 2014
Blatt 3	vom 24. Oktober 2014;	Abgabe bis 31. Oktober;	Besprechung am 5. November 2014
Blatt 4	vom 31. Oktober 2014;	Abgabe bis 7. November;	Besprechung am 12. November 2014
Blatt 5	vom 7. November 2014;	Abgabe bis 14. November;	Besprechung am 19. November 2014
Blatt 6	vom 14. November 2014;	Abgabe bis 21. November;	Besprechung am 26. November 2014
Blatt 7	vom 21. November 2014;	Abgabe bis 28. November;	Besprechung am 3. Dezember 2014
Blatt 8	vom 28. November 2014;	Abgabe bis 5. Dezember;	Besprechung am 10. Dezember 2014
Blatt 9	vom 5. Dezember 2014;	Abgabe bis 12. Dezember;	Besprechung am 17. Dezember 2014
Blatt 10	vom 12. Dezember 2014;	Abgabe bis 19. Dezember;	Besprechung am 7. Januar 2015
Blatt 11	vom 19. Dezember 2014;	Abgabe bis 9. Januar;	Besprechung am 14. Januar 2015
Blatt 12	vom 9. Januar 2015;	Abgabe bis 16. Januar;	Besprechung am 21. Januar 2015
Blatt 13	vom 16. Januar 2015;	Abgabe bis 23. Januar;	Besprechung am 28. Januar 2015
Blatt 14	vom 23. Januar 2015;	keine Abgabe
Blatt 15	vom 30. Januar 2015;	keine Abgabe

Voraussetzungen

Lineare Algebra I/II; Analysis I/II; Vorkenntnisse in Algebra oder Geometrie/Topologie sind hilfreich aber nicht notwendig. Der Inhalt der Vorlesung wird auf die genauen Vorkenntnisse der Teilnehmer abgestimmt werden.

Prüfung/Leistungsnachweis

Die Prüfungsmodalitäten finden Sie in den organisatorischen Hinweisen zur Vorlesung.

Letzte �nderung: 02. Februar 2015