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Das Häufigkeitsnetz hilft Wahrscheinlichkeiten besser zu verstehen

Regensburger Mathematiker*innen entwickeln neue Wahrscheinlichkeitsvisualisierung


26. Mai 2020

Wer Statistiken korrekt verstehen will, dem können Visualisierungen helfen: In der Schule etwa, oder in der Medizin. Eine neue Wahrscheinlichkeitsvisualisierung, das sogenannte Häufigkeitsnetz, hat nun die Regensburger Mathematik-Didaktikerin Dr. Karin Binder, in diesem Sommersemester Vertretungsprofessorin an der Universität Paderborn, entwickelt und gemeinsam mit ihren Regensburger Kollegen Prof. Dr. Stefan Krauss und Patrick Wiesner in einer empirischen Studie untersucht. Darüber berichten die Forscher*innen aktuell in Frontiers in Psychology. Die entwickelte Visualisierung löst für die Didaktikexpertin ein ganz entscheidendes Problem: „Wir hatten bislang in Lehrkräftefortbildungen die Häufigkeitsdoppelbäume empfohlen, weil diese in Studien immer sehr gut abschneiden. Allerdings kann man in Doppelbäumen nur bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen, aber keine Schnittwahrscheinlichkeiten. Vierfeldertafeln haben hingegen das umgekehrte Problem: Hier kann ich Schnittwahrscheinlichkeiten darstellen, aber keine bedingten Wahrscheinlichkeiten.“

Damit existieren also zwei Visualisierungen, die jeweils nur bei einer Klasse von Aufgaben vorteilhaft sind. Und: Bei der entsprechenden anderen Aufgabenklasse müssen zunächst Nebenrechnungen erfolgen, um die Visualisierung nutzen zu können. Unlängst hat Karin Binder nun eine neue Visualisierung aufgezeichnet, die beides kann - Schnittwahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten darstellen. Dazu betrachtet Karin Binder in Zeiten von Corona eine Beispielrechnung zu Antikörper-Tests. Die zugehörigen Zahlen dieser Beispielrechnung stammen aus einem Artikel in der Süddeutschen Zeitung (22. April 2020), die die Situation bereits kognitionspsychologisch sehr anschaulich visualisiert haben.

Die Güte medizinischer Testverfahren wird üblicherweise über die statistischen Kennwerte Sensitivität und Spezifität angegeben. Die Sensitivität gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person, die tatsächlich bereits mit Sars-CoV-2 infiziert war, einen positiven Antikörper-Befund im Test erhält. Diese Zahl wünscht man sich möglichst hoch und wird von Herstellern derzeit tatsächlich mit 100 Prozent angegeben. Die Spezifität gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Test negativ wird, wenn die Person auch tatsächlich noch nicht mit Sars-CoV-2 infiziert war. Auch diese Zahl wünscht man sich möglichst nah an 100 Prozent. Die optimistischen Firmeneinschätzungen gehen hierbei im Moment von einer Spezifität von 98,5 Prozent aus.

Viele Menschen (selbst Ärztinnen und Ärzte) lassen sich von solch beeindruckenden Zahlen täuschen, was in manchen medizinischen Diagnosefällen auch zu unnötigen Operationen an gesunden Personen führen kann (z. B. eine Amputation der Brust nach einer falschen Diagnose von Brustkrebs). Entscheidend für die Güte medizinischer Tests ist jedoch noch eine weitere Zahl: Wie groß ist denn der Anteil der Personen in der Bevölkerung, die bereits eine Infektion durchgemacht haben? Die Abbildung zeigt eine Beispielrechnung, in der bereits 1,3 Prozent der Bevölkerung die Infektion durchgemacht haben. Da viele Studien zeigen konnten, dass all diese statistischen Informationen besser verstanden werden, wenn man sich konkrete Personen vorstellen kann, werden in den Knoten des Netzes absolute Häufigkeiten dargestellt: Von 100.000 Personen in der Bevölkerung sind in der Beispielrechnung 98.700 noch nicht mit Sars-CoV-2 infiziert, während 1.300 bereits eine Infektion durchgemacht haben (dies entspricht den 1,3 Prozent). Die Sensitivität von 100 Prozent würden dementsprechend bedeuten, dass all diese 1.300 Personen, die bereits infiziert waren, einen positiven Befund im Antikörper-Test erhalten und es keine Person gibt, die einen negativen Befund erhält. Die Spezifität von 98,5 Prozent bedeutet hingegen, dass von den 98.700 Personen, die noch nicht infiziert waren, dennoch fälschlicherweise 1.480 Personen einen positiven Antikörper-Befund erhalten. Die 98,5 Prozent hörten sich im ersten Moment gut an. Doch dadurch, dass es so viel mehr nicht-infizierte als bereits infizierte Personen gibt, resultieren immer noch viele positive Testergebnisse, die nur fälschlicherweise positiv sind. Von insgesamt 2.780 Personen mit positivem Antikörper-Befund waren nur 1.300 Personen in der Beispielrechnung auch tatsächlich infiziert. Nur 46,8 Prozent der positiven Testergebnisse sind demnach richtig.

All dies kann im Häufigkeitsnetz abgelesen werden anhand absoluter Häufigkeiten, die es erlauben, sich konkrete Personen vorzustellen. Zudem können an den Ästen des Netzes die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten angetragen werden. Doch der entscheidende Vorteil zeigt sich in den Diagonalen im Netz. Während bisherige Visualisierungen entweder bedingte Wahrscheinlichkeiten (wie z. B. die Spezifität von 98,5 Prozent) darstellen konnten, oder Schnittwahrscheinlichkeiten, geht im abgebildeten Netz tatsächlich beides. Aus dem Netz kann entnommen werden, dass es insgesamt 1.480 Personen gibt, die positiv getestet werden und bislang nicht infiziert waren. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit 1,48 Prozent kann nun ebenfalls auf dem entsprechenden Ast notiert werden. Und das war bislang in keiner Wahrscheinlichkeitsvisualisierung möglich.

Für den Statistikunterricht an Schulen und Universitäten kann diese Visualisierung daher bequem eingesetzt werden, ohne dass zunächst umständliche Nebenrechnungen erforderlich sind, um die Visualisierung nutzen zu können. Unterrichtlich ergeben sich hieraus viele neue Möglichkeiten, die das Team um Karin Binder und Stefan Krauss nun in Trainingsstudien untersuchen.


Originalpublikation:

Karin Binder, Stefan Krauss and Patrick Wiesner, “A New Visualization for Probabilistic Situations Containing Two Binary Events: The Frequency Net”, Frontiers in Psychology (2020).
DOI: 10.3389/fpsyg.2020.00750



ANSPRECHPARTNERIN FÜR MEDIENVERTRETER

Dr. Karin Binder
Am Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Universität Regensburg
E-Mail: karin.binder@ur.de


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